| № |
Условие |
Решение
|
Наличие |
| 3-011 |
Проверить следующие правила коммутации для гамильтониана Я в потенциальном поле U(x): а) [Я, х- = -~ рх- б) [Я, px] = ih8-^; в) [Н, p2.~ = 2ihj~ l
|
под заказ |
нет |
| 3-012 |
Оператор А коммутирует с операторами В и С. Можно ли отсюда заключить, что операторы В и С коммутативны?
|
под заказ |
нет |
| 3-013 |
Доказать следующие теоремы: а) если операторы А и В имеют общие собственные функции, то такие операторы коммутируют; б) если операторы А и В коммутируют, то они имеют общие собственные функции (доказательство провести для случая, когда вырождение отсутствует).
|
под заказ |
нет |
| 3-014 |
Найти общую собственную функцию следующих операторов: а) х и ру; б) рх, ру и pz; в) рх и р2х.
|
под заказ |
нет |
| 3-015 |
В некотором состоянии фл система имеет определенное значение физической величины А. Имеет ли в этом состоянии определенное значение также и величина В, если соответствующие им операторы А и В коммутативны?
|
под заказ |
нет |
| 3-016 |
Доказать, что если оператор А эрмитов, то его собственные значения вещественны.
|
под заказ |
нет |
| 3-017 |
Доказать эрмитовость следующих операторов: а) рх б) хрх. Указание: иметь в виду, что на бесконечности волновые функции и их производные обращаются в нуль.
|
под заказ |
нет |
| 3-018 |
Воспользовавшись эрмитовостью оператора рх и указанием к предыдущей задаче (Доказать эрмитовость следующих операторов: а) рх б) хрх. Указание: иметь в виду, что на бесконечности волновые функции и их производные обращаются в нуль.), доказать эрмитовость операторов: а) Р1 б) Я. л
|
под заказ |
нет |
| 3-019 |
Доказать, что если операторы А и В эрмитовы и коммутирующие, то оператор А В эрмитов.
|
под заказ |
нет |
| 3-020 |
Доказать, что если оператор А эрмитов, то и оператор А также эрмитов, где n - целое положительное.
|
под заказ |
нет |
| 3-021 |
Доказать, что если операторы А и В эрмитовы, то операторы А+В и АВ+ВА также эрмитовы.
|
под заказ |
нет |
| 3-022 |
Доказать, что если операторы А и В эрмитовы и некоммутирующие, то оператрр: а) [А, В не эрмитов; б) i A, В эрмитов.
|
под заказ |
нет |
| 3-023 |
Найти собственные значения и нормированные собственные функции операторов: а) 4; б) Q.
|
под заказ |
нет |
| 3-024 |
Найти собственные значения оператора L2, соответствующие его собственной функции 7(9, ф) = A (cos 9 + 2 sin 9 cos ф).
|
под заказ |
нет |
| 3-025 |
Доказать, что оператор Lz эрмитов. Доказательство провести: а) в полярных координатах; б) в декартовых координатах.
|
под заказ |
нет |
| 3-026 |
Доказать эрмитоврсть оператора L2, имея в виду, что операторы Lx, Ly и Lz эрмитовы.
|
под заказ |
нет |
| 3-027 |
Проверить следующие правила коммутации: а) [х, Lx] = 0; б) [г, Lx] = -ihz; в) [z, ? x] = ihy.
|
под заказ |
нет |
| 3-028 |
Доказать следующие правила коммутации: а) [4, PX] = Q; б) [4, py] = ihpz; в) [Lx, pz] = -ihpy.
|
под заказ |
нет |
| 3-029 |
С помощью правил коммутации, приведенных в предыдущей задаче, показать, что: а) 14, /5х] = 0; б) [4, Р2] = 9: в) [? 2, р2] = 0.
|
под заказ |
нет |
| 3-030 |
Доказать, что оператор L2 коммутирует с оператором кинетической энергии К.
|
под заказ |
нет |
| 3-031 |
Проверить следующие правила коммутации: а)Т4, 4] = ift4; б) [L,, 4] = iA4; в) [4,4] = ift4-
|
под заказ |
нет |
| 3-032 |
С помощью правил коммутации приведенных в предыдущей задаче показать, что оператор L2 коммутирует с операторами 4> ? у и Lz.
|
под заказ |
нет |
| 3-033 |
Модель пространственного ротатора - это частица с массой m, движущаяся все время на одном и том же расстоянии г0 от центра. Найти собственные значения энергии такого ротатора, считая известными собственные значения оператора L2.
|
под заказ |
нет |
| 3-034 |
Доказать, что если физическая величина А описывается эрмитовым оператором А, то: а) ее среднее значение вещественно; б)^ среднее значение квадрата этой величины <Л2> =
|
под заказ |
нет |
| 3-035 |
Показать для одномерного случая, что
|
под заказ |
нет |
| 3-036 |
Доказать, что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее значение проекции импульса частицы равно нулю. Указание: воспользоваться выражением оператора рх через коммутатор операторов Них (см. задачу 3.11, а).
|
под заказ |
нет |
| 3-037 |
Найти среднюю кинетическую энергию частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками @<х
|
под заказ |
нет |
| 3-038 |
Вычислить средние значения кинетической и потенциальной энергий квантового осциллятора с частотой w в основном состоянии Ф(х) = А ехр( -a2х2), где a2 = н/2hw, н - постоянная (U = нx2 /2).
|
под заказ |
нет |
| 3-039 |
В некоторый момент частица находится в состоянии -х2/а2), где А и а - постоянные. Найти средние значения: а) координаты х; б) проекции импульса рх.
|
под заказ |
нет |
| 3-040 |
Вычислить средние значения <(АхJ> и <(А/? ХJ> и их произведение: а) для частицы, находящейся на 1-м уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками @<х
|
под заказ |
нет |
