Динамика вращательного движения тела

• Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения

$M=F_{\perp }l$,

где

$F_{\perp }$ — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения;
l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

J=mr²,

где

m — масса точки
r — расстояние ее от оси вращения

б) дискретного твердого тела

$J_z=\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2$

где

m_i — масса i-го элемента тела;
r_i — расстояние этого элемента от оси вращения;
n — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

$J_z={\int }_m{r}^{2}dm$

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то

$J_z=\rho {\int }_V{r}^{2}dV$

где V — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню	$\frac{m{l}^2}{12}$
	Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню	$\frac{m{l}^2}{3}$
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, маховик радиусом R и массой m, распределенной по ободу	Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания	mR2
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания	$\frac{m{R}^2}{2}$
Однородный шар массой т и радиусом R	Проходит через центр шара	$\frac{2m{R}^2}{5}$

• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J₀+ma²,

где

J₀ — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси;
а — расстояние между осями;
m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L=Jω

• Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси Oz

$M_z=\frac{d{L}_z}{dt}$

где

М_z и L_z — главный момент внешних сил и момент импульса системы относительно оси Oz.

Для твердого тела с неизменным моментом инерции:

М_z=I_zε

• Закон сохранения момента импульса

$\sum _{i=1}^n{L}_i=const$

где

L_i — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы.

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы относительно оси z:

L_z=const или I_zω=const

• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

A=Mφ,

где φ — угол поворота тела.

• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N=Mω .

• Кинетическая энергия вращающегося тела относительно неподвижной оси Oz

$T_z=\frac{I_z{\omega }^2}{2}$

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

$T=\frac{m{V}_c^2}{2}+\frac{I_z{\omega }^2}{2}$

где V_c — скорость центра инерции тела; J_z — момент инерции теда относительно мгновенной оси Oz, проходящей через его центр масс.