Кинематика

Положение материальной точки в пространстве:

$\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Мгновенная скорость:

$\overrightarrow{V}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=V_x\overrightarrow{i}+V_y\overrightarrow{j}+V_z\overrightarrow{k}$

Средняя скорость:



где Δr - перемещение материальной точки за время Δt

Средняя путевая скорость:



где Δs - путь, пройденный материальной точки за время Δt

Модуль скорости:

$V=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}$

Ускорение:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}$

Модуль ускорения:

$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$



При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной a_n и тангенциальной a_τ составляющих (рисунок):

a=a_n+a_τ



Модули этих ускорений:

$a_n=\frac{V^2}{R}$

$a_{\tau }=\frac{dV}{dt}$

$a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau }^2}$

где R — радиус кривизны в данной точке траектории.

• Кинематическое уравнение прямолинейного равномерного движения (V=const):

а) в векторной форме:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+\overrightarrow{V}t$

б) в координатной форме:

x(t)=x₀+V_xt

y(t)=y₀+V_yt

z(t)=z₀+V_zt

• Кинематическое уравнение прямолинейного равноускоренного движения (a=const):

а) в векторной форме: $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+\overrightarrow{V_0}t+\frac{\overrightarrow{a}{t}^2}{2}$

б) в координатной форме:

$x=x_0+V_{x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$

$y=y_0+V_{y}t+\frac{a_y{t}^2}{2}$

$z=z_0+V_{z}t+\frac{a_z{t}^2}{2}$

Скорость точки при равноускоренном движении:

а) в векторной форме: $\overrightarrow{V}\left(t\right)={\overrightarrow{V}}_0\left(t\right)+\overrightarrow{a}t$

б) в координатной форме:

V_x(t)=V_0x+a_xt
V_y(t)=V_0y+a_yt
V_z(t)=V_0z+a_zt

• Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) φ.

Кинематическое уравнение вращательного движения

φ=f(t)

• Средняя угловая скорость



где

∆φ — изменение угла поворота за интервал времени ∆t .

Мгновенная угловая скорость:

$\omega =\frac{d\phi }{dt}$

• Угловое ускорение;

$\epsilon =\frac{d\omega }{dt}$

• Кинематическое уравнение равномерного (ω=const) вращения в проекции на ось вращения:

φ=φ₀+ωt

где φ₀ — начальное угловое перемещение; t—время.

Частота вращения

n=N/t, или n=1/T,

где

N — число оборотов, совершаемых телом за время t;
Т — период вращения (время одного полного оборота).

Угловое перемещение φ и угловая скорость ω связвны с числом оборотов, частотой вращения и периодом вращения соотношением:

φ=2πN

ω=2πn

$\omega =\frac{2\mathrm{\pi }}{T}$

• Кинематическое уравнение равноускоренного вращения (ω=const)

$\phi ={\phi }_0+{\omega }_{0}t+\frac{\epsilon t^2}{2}$

где ω₀ — начальная угловая скорость; t — время.

Угловая скорость тела при равноускоренном вращении

ω(t)=ω₀(t)+εt

• Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,

s=φR (φ— угол поворота тела);

скорость точки линейная

V=ωR

ускорение точки:

a_τ=εt - тангенциальное ускорение

a_n=ω²R - нормальное ускорение


Примеры задач:

Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью v1..
Камень брошен горизонтально со скоростью vx=10 м/с..